fizik.science

Dinamik

Sönümlü yay–kütle sistemi

Hızla orantılı direnç kuvveti ekle. Kritik altı, kritik ve kritik üstü sönümü aynı başlangıç koşullarıyla karşılaştır.

Sönümü artırınca sistem her zaman daha çabuk dengeye gelir mi?

Yay–kütle hareketi

Hazır

02 / CANLI ÖLÇÜMLER

Konum x—m
Hız v—m/s
İvme a—m/s²
Net kuvvet—N
Sönüm katsayısı b—kg/s
Sönüm rejimi

Konumun zamanla değişimi

Parametreleri değiştir

Kinetik, potansiyel ve toplam enerji

Kinetik enerji KPotansiyel enerji UMekanik enerji E
Kinetik enerji K—J
Potansiyel enerji U—J
Mekanik enerji E—J
Aktarılan enerji E₀ − E—J

K: mavi düz çizgi; U: turuncu kesikli çizgi; E = K + U: lavanta noktalı çizgi. Grafikler seçili ana kadar çizilir. E₀ − E, direnç nedeniyle çevreye aktarılan enerjidir.

Üç sönüm rejimini karşılaştır: konum–zaman

Bu grafikte kütle, yay sabiti, başlangıç konumu ve başlangıç hızı aynıdır; yalnız sönüm oranı değişir (ζ = 0,25; 1; 2). Eğriler seçili zamana kadar çizilir. Üstteki deney seçili ζ değerini kullanır; bu karşılaştırma ise üç sabit ζ değerini gösterir.

Kritik altı sönüm (ζ = 0,25)Kritik sönüm (ζ = 1)Kritik üstü sönüm (ζ = 2)

Izgara: 0,25 m. Konum ölçeği sabittir; denge konumu x = 0’dır.

F oku net kuvvetin yönünü gösterir; ok uzunluğu nicel bir kuvvet ölçeği değildir.

Hareket denklemi ve çözümü

Hareket denklemi ve çözümü

Yatay ve ideal bir yay için geri çağırıcı kuvvet Fₛ = −k x olur. x, denge konumuna göre ölçülür. Başlangıçta x(0) = x₀ ve v(0) = v₀ seçilir. Doğal açısal frekans ω₀ = √(k/m) ve periyot T₀ = 2π/ω₀’dır.

Bu deneyde sürtünme Fᵈ = −b v biçiminde doğrusal viskoz dirençtir; kuru yüzey sürtünmesi değildir. b ≥ 0, β = b/(2m), ω₀ = √(k/m) ve ζ = β/ω₀ tanımlanır. Hareket denklemi m ẍ + b ẋ + k x = 0 olur.

Kritik altı sönüm

0 < ζ < 1: salınım genliği üstel olarak azalır. Sönümlü açısal frekans ω_d = √(ω₀² − β²) olur.

Kritik sönüm

ζ = 1: iki karakteristik kök birleşir. Çözüm, üstel çarpan ile zamana göre doğrusal bir çarpanın çarpımıdır. Bu rejimde periyodik salınım yoktur.

Kritik üstü sönüm

ζ > 1: iki farklı negatif gerçek kök vardır. Hareket periyodik değildir; katsayısı sıfır değilse uzun zamanda daha yavaş üstel terim baskın kalır. Başlangıç hızına bağlı olarak denge konumu bir kez geçilebilir.

Aşırı sönümlü çözümde q = √(β² − ω₀²), r₊ = −β + q, r₋ = −β − q; C₊ = (v₀ − r₋x₀)/(r₊ − r₋), C₋ = (r₊x₀ − v₀)/(r₊ − r₋).

Doğrusal sönümlü salınıcı için standart karakteristik kök çözümünü kullanıyoruz. Thornton ve Marion, Classical Dynamics of Particles and Systems, 5. baskı, Bölüm 3 bu konunun ileri okuma kaynağıdır. Buradaki ifadeler bağımsız olarak türetilmiştir; kitaptaki belirli bir denklem numarasıyla karşılaştırılmış değildir.

Noktalar zamana göre türevi gösterir. Aşağıdaki ifadelerde t = 0 seçili başlangıç anıdır.

Kinetik, potansiyel ve toplam enerji

K = m v²/2, U = k x²/2 ve E = K + U. Direnç kuvvetinin gücü −b v² olduğundan mekanik enerji artmaz. Enerji yok olmaz; modelin izlediği mekanik sistemden çevreye aktarılır.

Virial teoremi: zaman ortalamaları

Kararlı, bağlı ve konservatif hareket için uygun zaman ortalaması alındığında 2⟨K⟩ = ⟨x dU/dx⟩ olur. Harmonik potansiyelde tam bir periyot üzerinden ⟨K⟩ = ⟨U⟩ = E/2 elde edilir. Bu, enerjilerin her anda eşit olduğu anlamına gelmez; sönümlü geçiş hareketine aynı eşitliği doğrudan uygulamayız.

Model ve varsayımlar

Tek boyutlu yatay hareket, sabit kütle, kütlesiz ideal Hooke yayı ve sabit katsayılar. Düşey ağırlık ve normal kuvvet birbirini dengeler. Dışarıdan zorlayıcı kuvvet ve ölçüm gürültüsü yoktur. Sönümlü sayfada yalnız hızla orantılı direnç kullanılır. Parametre değiştirmek yeni başlangıç koşullarıyla deneyi başlatır; parametre değişiminin geçişi modellenmez.

Sürtünmesiz harmonik salınıcı

Hareket denklemi, başlangıç koşullarına bağlı çözüm ve kinetik–potansiyel enerji dönüşümü.

Deneyi aç

Semboller ve türevler: nasıl okunur?

GösterimAnlamı ve birimi
Zaman; s saniye demektir. Işık saatinde ns = 10⁻⁹ s kullanılır.
Denge konumuna göre konum (m); x₀ başlangıç konumudur. İşaret, denge noktasının hangi tarafında olunduğunu belirtir.
Konumun zamana göre birinci türevi, yani hız (m/s). Üstteki tek nokta zamana göre bir kez türev alındığını gösterir.
Konumun zamana göre ikinci türevi, yani ivme (m/s²). Hızın zamana göre değişim hızıdır; iki nokta iki kez türev demektir.
Kütle m (kg), yay sabiti k (N/m) ve viskoz sönüm katsayısı b (kg/s). Direnç kuvveti −bv, yay kuvveti −kx olur.
ω₀ doğal açısal frekans (rad/s); β = b/(2m) sönüm hızı (s⁻¹); ζ = β/ω₀ boyutsuz sönüm oranıdır. Buradaki β, ışık saatindeki v/c değildir.
Kritik altı durumda sönümlü açısal frekans (rad/s); yalnız ζ < 1 için salınım frekansı olarak kullanılır.
v₀ başlangıç hızı (m/s). A, B ve C± başlangıç konumu ile hızından belirlenen çözüm katsayılarıdır (m); serbestçe bağımsız seçilmezler.
Kritik üstü çözümün iki üstel azalma oranı (s⁻¹). C₊ + C₋ = x₀ ve r₊C₊ + r₋C₋ = v₀ koşulları başlangıç değerlerini sağlar.
K kinetik, U yayda depolanan potansiyel, E toplam mekanik enerjidir (J). Sönümde kaybedilen mekanik enerji çevreye/ısıl enerjiye aktarılır.
Açılı parantez zaman ortalamasını belirtir. Burada sürtünmesiz periyodik harekette tam bir periyot veya tam sayı periyot üzerindeki ortalamadır.

Kaynaklar ve ileri okuma

Aşağıdaki kitaplar ilgili kavramları derinleştirmek içindir. Simülasyonun varsayımları yukarıda ayrıca açıklanmıştır.

  1. Stephen T. Thornton, Jerry B. Marion. Classical Dynamics of Particles and Systems. 5. baskı · Bölüm 3. Cengage. Kaynağa git ↗
  2. David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker. Fundamentals of Physics. 12. baskı · Bölüm 15. Wiley. Kaynağa git ↗
  3. Hugh D. Young, Roger A. Freedman. University Physics with Modern Physics. 15. baskı · Bölüm 14. Pearson. Kaynağa git ↗