1. Prédire
Avec les mêmes conditions initiales et v₀ = 0, prédisez si les trois régimes franchissent l’équilibre.
Dynamique
Système masse-ressort amorti
Ajoutez une force résistive proportionnelle à la vitesse. Comparez les régimes sous-amorti, critique et suramorti avec les mêmes conditions initiales.
Augmenter l’amortissement ramène-t-il toujours le système plus vite à l’équilibre ?
2. Réaliser une expérience contrôlée
Fixez m = 1 kg, k = 4 N/m, x₀ = 0,8 m, v₀ = 0. Pour ζ = 0,25, relevez x, K, U et E à trois instants.
3. Comparer et mesurer
Comparez ζ = 0,25, 1 et 2. Estimez le premier instant après lequel |x| reste inférieur à 0,05 m jusqu’à la fin ; notez la limite d’observation finie.
4. Examiner la relation
Reliez la perte d’énergie à la vitesse : dE/dt = −bv². Que vaut ce taux au point de rebroussement ? Où l’énergie est-elle transférée ?
5. Conclusions et limites
Testez votre interprétation avec un autre v₀. Précisez la résistance visqueuse linéaire et expliquez pourquoi le mouvement amorti ne se répète pas à amplitude constante.
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Mouvement du système masse-ressort
Prêt02 / MESURES EN DIRECT
Position x—m
Vitesse algébrique v—m/s
Accélération a—m/s²
Résultante des forces—N
Coefficient d’amortissement b—kg/s
Régime d’amortissement
Évolution de la position au cours du temps
Modifier les paramètres
Énergies cinétique, potentielle et totale
Énergie cinétique KÉnergie potentielle UÉnergie mécanique E
Énergie cinétique K—J
Énergie potentielle U—J
Énergie mécanique E—J
Énergie transférée E₀ − E—J
K : trait bleu continu ; U : trait orange discontinu ; E = K + U : pointillés lavande. Les graphiques sont tracés jusqu’à l’instant sélectionné. E₀ − E est l’énergie transférée au milieu extérieur par la force résistive.
Comparer trois régimes : position–temps
Masse, raideur, position et vitesse initiales sont identiques ; seul le taux d’amortissement varie (ζ = 0,25 ; 1 ; 2). Les courbes se tracent jusqu’à l’instant choisi. L’expérience utilise le ζ sélectionné ; cette comparaison utilise trois valeurs fixes.
Sous-amorti (ζ = 0,25)Critique (ζ = 1)Suramorti (ζ = 2)
Questionner. Tester. Expliquer.
Poser une question
Un amortissement plus fort assure-t-il toujours un retour plus rapide ?
Tester
Fixez v₀ = 0 ; examinez les trois courbes et la légende énergétique.
Interpréter le résultat
L’absence d’oscillation signifie-t-elle conservation de l’énergie mécanique ?
Pas de la grille : 0,25 m. L’échelle des positions est fixe ; la position d’équilibre est x = 0.
La flèche F indique la direction de la résultante des forces ; sa longueur ne constitue pas une échelle quantitative.
Équation du mouvement et solution
Équation du mouvement et solution
Pour un ressort horizontal idéal, la force de rappel est Fₛ = −k x. La position x est mesurée par rapport à l’équilibre. Les conditions initiales sont x(0) = x₀ et v(0) = v₀. La pulsation propre est ω₀ = √(k/m) et la période est T₀ = 2π/ω₀.
Dans cette expérience, le frottement est une résistance visqueuse linéaire de la forme Fᵈ = −b v, et non un frottement sec entre surfaces. On définit b ≥ 0, β = b/(2m), ω₀ = √(k/m) et ζ = β/ω₀. L’équation du mouvement est m ẍ + b ẋ + k x = 0.
Sous-amorti
0 < ζ < 1 : l’amplitude des oscillations décroît exponentiellement. La pulsation amortie est ω_d = √(ω₀² − β²).
Critique
ζ = 1 : les deux racines caractéristiques se confondent. La solution est le produit d’un facteur exponentiel et d’un facteur affine en temps. Ce régime ne présente pas d’oscillation périodique.
Suramorti
ζ > 1 : les deux racines réelles sont distinctes et négatives. Le mouvement n’est pas périodique ; aux temps longs, le terme exponentiel qui décroît le plus lentement domine si son coefficient est non nul. Selon la vitesse initiale, la masse peut franchir une fois la position d’équilibre.
Dans la solution suramortie, q = √(β² − ω₀²), r₊ = −β + q, r₋ = −β − q ; C₊ = (v₀ − r₋x₀)/(r₊ − r₋), C₋ = (r₊x₀ − v₀)/(r₊ − r₋).
Nous utilisons la solution standard par les racines caractéristiques pour l’oscillateur à amortissement linéaire. Thornton et Marion, Classical Dynamics of Particles and Systems, 5e édition, chapitre 3, constitue une référence pour approfondir ce sujet. Les expressions présentées ici ont été établies indépendamment ; elles n’ont pas été comparées à une équation numérotée précise de cet ouvrage.
Les points indiquent les dérivées par rapport au temps. Dans les expressions ci-dessous, t = 0 est l’instant initial choisi.
Énergies cinétique, potentielle et totale
K = m v²/2, U = k x²/2 et E = K + U. La puissance de la force résistive étant −b v², l’énergie mécanique ne peut pas augmenter. L’énergie ne disparaît pas ; elle est transférée du système mécanique décrit par le modèle vers le milieu extérieur.
Théorème du viriel : moyennes temporelles
Pour un mouvement stable, lié et conservatif, une moyenne temporelle appropriée donne 2⟨K⟩ = ⟨x dU/dx⟩. Dans un potentiel harmonique, la moyenne sur une période complète donne ⟨K⟩ = ⟨U⟩ = E/2. Cela ne signifie pas que les énergies sont égales à chaque instant ; nous n’appliquons pas directement cette même égalité à un mouvement transitoire amorti.
Modèle et hypothèses
Mouvement horizontal à une dimension, masse constante, ressort idéal sans masse obéissant à la loi de Hooke et coefficients constants. Le poids et la réaction normale se compensent verticalement. Aucune force d’excitation extérieure ni aucun bruit de mesure. La page du système amorti utilise uniquement une résistance proportionnelle à la vitesse. Modifier un paramètre relance l’expérience avec de nouvelles conditions initiales ; la transition liée au changement de paramètre n’est pas modélisée.
Symboles et dérivées : comment les lire
| Notation | Signification et unité |
|---|---|
| Temps ; s désigne la seconde. L’horloge utilise ns = 10⁻⁹ s. | |
| Position par rapport à l’équilibre (m) ; x₀ est la position initiale. Le signe indique le côté de l’équilibre. | |
| Première dérivée temporelle de la position : vitesse (m/s). Un point indique une dérivation par rapport au temps. | |
| Deuxième dérivée temporelle de la position : accélération (m/s²), taux de variation de la vitesse. Deux points indiquent deux dérivations. | |
| Masse m (kg), raideur k (N/m), coefficient visqueux b (kg/s). La résistance vaut −bv et la force du ressort −kx. | |
| ω₀ est la pulsation propre (rad/s) ; β = b/(2m) est le taux de décroissance (s⁻¹) ; ζ = β/ω₀ est sans dimension. Ce β n’est pas le v/c de l’horloge. | |
| Pulsation amortie (rad/s) en régime sous-amorti ; fréquence d’oscillation seulement pour ζ < 1. | |
| v₀ est la vitesse initiale (m/s). A, B et C± sont des coefficients (m) fixés par les conditions initiales, non indépendants. | |
| Deux taux exponentiels (s⁻¹) en régime suramorti. C₊ + C₋ = x₀ et r₊C₊ + r₋C₋ = v₀ imposent les conditions initiales. | |
| K est l’énergie cinétique, U l’énergie potentielle du ressort, E l’énergie mécanique totale (J). L’amortissement transfère de l’énergie mécanique vers l’environnement sous forme thermique. | |
| Les chevrons indiquent les moyennes temporelles, ici sur une période entière ou un nombre entier de périodes sans amortissement. |
Références et lectures complémentaires
Les ouvrages ci-dessous permettent d’approfondir les concepts abordés. Les hypothèses de la simulation sont précisées séparément ci-dessus.
- Stephen T. Thornton, Jerry B. Marion. Classical Dynamics of Particles and Systems. Édition 5 · Chapitre(s) 3. Cengage. Consulter la source ↗
- David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker. Fundamentals of Physics. Édition 12 · Chapitre(s) 15. Wiley. Consulter la source ↗
- Hugh D. Young, Roger A. Freedman. University Physics with Modern Physics. Édition 15 · Chapitre(s) 14. Pearson. Consulter la source ↗