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Dynamique

Oscillateur harmonique sans frottement

Observez ensemble la force de rappel du ressort, le mouvement et les conversions d’énergie. Dans le modèle sans frottement, l’énergie mécanique totale se conserve.

Quelle énergie est maximale lorsque la masse passe par la position d’équilibre ?

Mouvement du système masse-ressort

Prêt

02 / MESURES EN DIRECT

Position x—m
Vitesse algébrique v—m/s
Accélération a—m/s²
Résultante des forces—N
Coefficient d’amortissement b—kg/s
Régime d’amortissement

Évolution de la position au cours du temps

Modifier les paramètres

Période calculée:

Durée physique totale:

Un cycle est une période entière : . Modifier masse ou raideur change période et durée totale. La vitesse de lecture ne ralentit que l’affichage.

Énergies cinétique, potentielle et totale

Énergie cinétique KÉnergie potentielle UÉnergie mécanique E
Énergie cinétique K—J
Énergie potentielle U—J
Énergie mécanique E—J
Énergie transférée E₀ − E—J

K : trait bleu continu ; U : trait orange discontinu ; E = K + U : pointillés lavande. Les graphiques sont tracés jusqu’à l’instant sélectionné. E₀ − E est l’énergie transférée au milieu extérieur par la force résistive.

Pas de la grille : 0,25 m. L’échelle des positions est fixe ; la position d’équilibre est x = 0.

La flèche F indique la direction de la résultante des forces ; sa longueur ne constitue pas une échelle quantitative.

Équation du mouvement et solution

Équation du mouvement et solution

Pour un ressort horizontal idéal, la force de rappel est Fₛ = −k x. La position x est mesurée par rapport à l’équilibre. Les conditions initiales sont x(0) = x₀ et v(0) = v₀. La pulsation propre est ω₀ = √(k/m) et la période est T₀ = 2π/ω₀.

Les points indiquent les dérivées par rapport au temps. Dans les expressions ci-dessous, t = 0 est l’instant initial choisi.

Énergies cinétique, potentielle et totale

K = m v²/2, U = k x²/2 et E = K + U. La puissance de la force résistive étant −b v², l’énergie mécanique ne peut pas augmenter. L’énergie ne disparaît pas ; elle est transférée du système mécanique décrit par le modèle vers le milieu extérieur.

Théorème du viriel : moyennes temporelles

Pour un mouvement stable, lié et conservatif, une moyenne temporelle appropriée donne 2⟨K⟩ = ⟨x dU/dx⟩. Dans un potentiel harmonique, la moyenne sur une période complète donne ⟨K⟩ = ⟨U⟩ = E/2. Cela ne signifie pas que les énergies sont égales à chaque instant ; nous n’appliquons pas directement cette même égalité à un mouvement transitoire amorti.

Modèle et hypothèses

Mouvement horizontal à une dimension, masse constante, ressort idéal sans masse obéissant à la loi de Hooke et coefficients constants. Le poids et la réaction normale se compensent verticalement. Aucune force d’excitation extérieure ni aucun bruit de mesure. La page du système amorti utilise uniquement une résistance proportionnelle à la vitesse. Modifier un paramètre relance l’expérience avec de nouvelles conditions initiales ; la transition liée au changement de paramètre n’est pas modélisée.

Système masse-ressort amorti

Frottement visqueux linéaire : trois régimes d’amortissement, solution analytique et perte d’énergie mécanique.

Ouvrir l’expérience

Symboles et dérivées : comment les lire

NotationSignification et unité
Temps ; s désigne la seconde. L’horloge utilise ns = 10⁻⁹ s.
Position par rapport à l’équilibre (m) ; x₀ est la position initiale. Le signe indique le côté de l’équilibre.
Première dérivée temporelle de la position : vitesse (m/s). Un point indique une dérivation par rapport au temps.
Deuxième dérivée temporelle de la position : accélération (m/s²), taux de variation de la vitesse. Deux points indiquent deux dérivations.
Masse m (kg), raideur k (N/m), coefficient visqueux b (kg/s). La résistance vaut −bv et la force du ressort −kx.
ω₀ est la pulsation propre (rad/s) ; β = b/(2m) est le taux de décroissance (s⁻¹) ; ζ = β/ω₀ est sans dimension. Ce β n’est pas le v/c de l’horloge.
Pulsation amortie (rad/s) en régime sous-amorti ; fréquence d’oscillation seulement pour ζ < 1.
v₀ est la vitesse initiale (m/s). A, B et C± sont des coefficients (m) fixés par les conditions initiales, non indépendants.
Deux taux exponentiels (s⁻¹) en régime suramorti. C₊ + C₋ = x₀ et r₊C₊ + r₋C₋ = v₀ imposent les conditions initiales.
K est l’énergie cinétique, U l’énergie potentielle du ressort, E l’énergie mécanique totale (J). L’amortissement transfère de l’énergie mécanique vers l’environnement sous forme thermique.
Les chevrons indiquent les moyennes temporelles, ici sur une période entière ou un nombre entier de périodes sans amortissement.

Références et lectures complémentaires

Les ouvrages ci-dessous permettent d’approfondir les concepts abordés. Les hypothèses de la simulation sont précisées séparément ci-dessus.

  1. Stephen T. Thornton, Jerry B. Marion. Classical Dynamics of Particles and Systems. Édition 5 · Chapitre(s) 3. Cengage. Consulter la source ↗
  2. David Halliday, Robert Resnick, Jearl Walker. Fundamentals of Physics. Édition 12 · Chapitre(s) 15. Wiley. Consulter la source ↗
  3. Hugh D. Young, Roger A. Freedman. University Physics with Modern Physics. Édition 15 · Chapitre(s) 14. Pearson. Consulter la source ↗